Ebook 17 równań, które zmieniły świat mobi,epub

żkach1, kreskówkach, na koszulkach polo; w Grecji wydano nawet znaczek pocztowy z ilustracją słynnej reguły (można go zobaczyć na rys. 1). Rysunek 1. Grecki znaczek przedstawiający graficzny dowód twierdzenia Pitagorasa. Pomimo całego hałasu, jaki powstał wokół wspomnianej reguły, w rzeczywistości nie mamy pojęcia, czy Pitagoras rzeczywiście udowodnił twierdzenie nazwane jego imieniem. Nie jesteśmy nawet w stanie stwierdzić, czy to on je sformułował; równie dobrze mogło zrodzić się ono w głowie któregoś z jego uczniów lub gdzieś w Sumerze czy Babilonie. To właśnie Pitagorasowi jednak przypadła chwała odkrywcy lub chociaż uczonego, który wykazał prawdziwość spostrzeżenia, i tak już zostało. Niezależnie od tego, kto je sformułował, twierdzenie to miało ogromny wpływ na historię człowieka. Można powiedzieć, że otworzyło ono nas na świat. Grecy nie zapisywali twierdzenia Pitagorasa w postaci równania, jakie znamy dziś ze szkoły - ta forma pojawiła się później, gdy algebra osiągnęła już odpowiedni poziom. W starożytności teorię tę wyrażano słownie oraz geometrycznie. Najstaranniej przedstawił ją na piśmie Euklides z Aleksandrii; to najstarszy znany nam przekaz pisany zawierający wspomniane twierdzenie. Euklides jest uważany za pierwszego współczesnego matematyka, a to za sprawą słynnych Elementów geometrii, najbardziej znaczącego podręcznika do matematyki. Uczony wprowadził do geometrii logikę, wyrażając założenia wprost, w sposób jasny i prosty, a następnie dowodząc wszystkich przedstawionych w podręczniku teorii. W ten sposób, wychodząc z założeń dotyczących najprostszych tworów geometrycznych - punktu, prostej i okręgu - dowiódł istnienia pięciu brył foremnych. Jednym z największych osiągnięć Euklidesa jest niewątpliwie fakt, że dziś twierdzenie Pitagorasa jest znane jako twierdzenie 47 z pierwszej księgi Elementów geometrii. W jednym z popularniejszych przekładów dokonanych przez sir Thomasa Heatha czytamy: ,,w trójkącie prostokątnym kwadrat przylegający do boku znajdującego się naprzeciw kąta prostego jest równy kwadratom przylegającym do boków znajdujących się przy kącie prostym". Czyli żadnych spodni, żadnej przeciwprostokątnej, żadnego jawnego wspomnienia sumy czy dodawania, jedynie wspomnienie naprzeciwległości. A przecież takie sformułowanie twierdzenia Pitagorasa nie pozostawia wątpliwości, że chodzi o równanie - zawiera bowiem wiele znaczące słowa jest równy. Wyższa matematyka wymagała od Greków odejścia od zapisu liczbowego na rzecz wyrażania problemów logicznych za pomocą prostych i powierzchni, dlatego też Pitagoras i jego następcy formułowali twierdzenie tak, by opisywało równość odpowiednich płaszczyzn. ,,Powierzchnia kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku trójkąta prostokątnego jest sumą powierzchni kwadratów utworzonych na jego pozostałych dwóch bokach". Najdłuższy bok to oczywiście przeciwprostokątna, czyli odcinek leżący naprzeciwko kąta prostego, co widać na ilustracji znajdującej się po lewej stronie rysunku 2. Z czasem twierdzenie Pitagorasa zyskało formę równania algebraicznego, w której jest używane od niemal dwóch tysięcy lat: a2 + b2 = c2, gdzie c jest długością przeciwprostokątnej, a i b zaś to długości pozostałych dwóch boków. Umieszczona w indeksie górnym dwójka oznacza, że dana wartość jest ,,podnoszona do kwadratu". W algebrze rozumiemy przez to pojęcie pomnożenie liczby przez samą siebie, natomiast powierzchnię dowolnego kwadratu oblicza się właśnie, podnosząc do kwadratu długość jego boku. Zatem równanie Pitagorasa, jak pozwolę sobie je nazwać, wyraża dokładnie to samo co podana przez Euklidesa formuła. Jedyne, z czego zrezygnowaliśmy, to obciążenie psychiczne związane z rozważaniami nad pojmowaniem idei liczb i powierzchni przez starożytnych Greków. Równanie Pitagorasa znalazło wiele praktycznych zastosowań. Przede wszystkim wykorzystujemy je do obliczania długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości pozostałych dwóch boków. Załóżmy przykładowo, że a = 3 i b = 4. Wtedy, na mocy twierdzenia Pitagorasa, c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Zatem c = 5. To słynny trójkąt o bokach 3-4-5 pojawiający się w każdym podręczniku szkolnym, a zarazem najprostsza z pitagorejskich trójek - trzy liczby całkowite spełniające równanie Pitagorasa. Następny w kolejności jest (pomijam tu skalowane wersje pierwszego zestawu liczb, na przykład 6-8-10) zestaw 5-12-13. Takich układów można znaleźć nieskończenie wiele, a Grecy wiedzieli, w jaki sposób je konstruować. Zagadnienie budowania trójek pitagorejskich z liczb całkowitych nadal stanowi istotny i rozwijany problem teorii liczb - nawet w ostatnim dziesięcioleciu odkrywano nowe cechy tych układów. Oczywiście nie musisz ograniczać si